【编者按】“中国古代数学的贡献”一文，作者系周向宇院士。在研究专业数学之余，作者将学习和研究中国古代数学的心得体会与研究成果整理成文，刊发于《数学学报，中文版》2022年第4期。该文阐释与揭示了中国古代数学对华夏文明的贡献，对国学、语言、文化的影响，以及对现代数学的影响与贡献。“数学大院”公众号将陆续以推文呈现，让读者从多方面领略中国古代数学的成就与贡献。

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以下内容节选自“中国古代数学的贡献”一文第二章，作者系周向宇院士。

所谓国学，应该是以先秦诸子百家学说为根基的中国传统思想、文化、学术体系。国学涉及范围广泛，包括哲学、文学、政治、经济、军事、历史、地理、医学、建筑、书画、音乐等等，且涉及各个时代。

事实上，中国文化对数学的严谨、严格、严密，准确、精确、客观，非常地推崇。《淮南子·主术训》说：孔丘、墨翟修先圣之术，通六艺之论。国学的奠基者们都精通六艺、通晓筹算，他们将各自的人文思想用数学命题来进行阐释，反映了人文精神与数学精神的交融， 体现了中国文化从根基上对数学的尊崇。

2.1 古代数学之用

史书记载：伏羲女娲持规矩；大禹：左準绳，右规矩，载四时；奚仲：造车之父，利用规矩、准绳造马车。

“勾三股四弦五”在大禹时期就已经知道了。《史记·夏本纪》记载大禹治水的情形：“左准绳， 右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。”《淮南子·修务训》也说：“无规矩，虽奚仲不能以定方圆；无准绳，虽鲁班不能以定曲直。”奚仲发明了轮子，是中国的造车之父。如果没有了规矩，即便是奚仲也确定不了方圆；如果没有了准绳，哪怕是鲁班也确定不了直线。这说明，我国古代很早就使用准绳和规矩这些基本的数学工具，并做出重大应用。

2.2 古代数学源远流长

周文王演周易；周武王建周朝，周公(儒学奠基人)制礼乐。数学教育属六艺(礼、乐、射、御、书、数)之一，据史料记载，至晚始于西周。西周造车技术高超，车辆制造业发达，而造车相当依赖数学。刘徽在为《九章算术》作注时说：“按周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣”。甲骨文中，已有规、矩等字。这些都说明，我国古代数学源远流长。

2.3 周公与商高

《周髀算经》记载周公向商高请教天文测量的有关知识：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高告诉他，关键在于用“矩”。周公感叹：“大哉言数！请问用矩之道。”商高则进一步解释，通过不同的摆放方式，矩可以实现多种不同的用途：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”周公称赞说：“善哉！”

《管子·七法》里记载了很多管子与数学相关的内容。管仲所说的七法是指：“则、象、法、化、决塞、心术、计数”。其中，“计数”包括刚柔、轻重、大小、实虚、远近、多少，这些问题都与数学相关。管仲认为，想要办成大事，不可不通晓数学：“不明于计数，而欲举大事，犹无舟楫而欲经于水险也。举事必成，不知计数不可。”此外，管仲把尺寸、绳墨、规矩、衡石、斗斛、角量称为“法”，这些也是数学。管仲说：“不明于法，而欲治民一众，犹左书而右息之。”在管仲治理国家时，数学起了重要作用。

由上述可见，从伏羲女娲到大禹，从文、武王到周公、管子，从中国文化的根基上看，中国的统治者对数学是十分欣赏、重视的。

2.4 孟子的人文思想与数学

《孟子·离娄上》说：“离娄之明，公输子之巧，不以规矩，不能成方圆；……尧舜之道，不以仁政，不能平治天下”。事实上，“不以规矩不能成方圆”是一个数学命题(现在已成为人们常用的格言警句)，孟子以此阐述它的核心人文思想“仁”。目前人们常说“规规矩矩做人做事”，反映了数学的影响。

中国文化看重“圆方”，向有“天圆地方”之说。方圆都是轴对称图形，又是中心对称图形。中国古代发明了画圆与方的规与矩。

《孟子·离娄上》还说：“规矩，方圆之至也；圣人，人伦之至也。”这里，孟子把数学命题和他的人文思想交融为一体，在他的著作中还能找到许多其他类似的比较、阐述。以下仅举几例：

《孟子·离娄上》：圣人既竭目力焉，继之以规矩准绳，以为方圆平直，不可胜用也；……既竭心思焉，继之以不忍人之政，而仁覆天下矣。

《孟子·梁惠王上》：权，然后知轻重；度，然后知长短。物皆然，心为甚。

《孟子·告子上》：“羿之教之射，必志于彀，学者亦必志于彀；大匠诲人，必以规矩，学者亦必以规矩。”

《孟子·尽心上》：公孙丑曰：“道则高矣美矣，宜若登天然，似不可及也。何不使彼为可几及，而日孳孳也。”孟子曰：“大匠不为拙工改废绳墨，羿不为拙射变其彀率，君子引而不发， 跃如也，中道而立，能者从之。”

《孟子·尽心下》：“梓匠轮舆，能与人规矩，不能使人巧。”

这些，都需要对数学有准确的认识，才能更好地理解其意。

2.5 墨子的人文思想与数学

墨子是一位百科式科学家。《墨子·经上》说：“圜，一中同长也。”圆就是有一个中心到具距离等长的图形。圆可以用规来实现，所谓“圜，规写交也”(用规写画的终点与始点相交合的封闭轨迹)。“方，柱隅四权(讙)也”(方形即四边四角相等的平面四边形。柱：边。隅：角。权：均衡、平衡、平均，这里意味着相等。另外《考工记》中：“九和之弓，角与干权”的“权”也是此意)，“方，矩见交也”(用矩尺画出相交的封闭图形)，方可以用矩来实现，这是墨子的公理化定义。“有穷”、“无穷”是墨家的常用术语。他给出了力的定义，认为力是使物体运动变化的原因；认识到了重力、杠杆原理；还做了世界上第一个小孔成像的实验，证明光沿直线传播。

《墨子·法仪》还说：“百工为方以矩，为圆以规，直以绳，衡以水，正以县。无巧工不巧工，皆以此五者为法。”无论是巧匠还是一般工匠，都要遵从相同的客观准则，说明墨子已经认识到了数学的客观性，以此强调法度的重要性。

墨子的核心人文思想是“天志”(天的意志)。《墨子·天志上》说：“我有天志，譬若轮人之有规， 匠人之有矩，轮匠执其规矩，以度天下之方圆。曰：中者是也，不中者非也。”墨子把以规矩定方圆，比喻为判断是非，显然他对数学的精确和严谨是十分推崇的。后文《墨子·天志中》还说：“是故子墨子之有天之，辟人无以异乎轮人之有规、匠人之有矩也。”墨子把天志思想和数学命题联系对应起来。“中吾规者谓之圆，不中吾规者谓之不圆，……中吾矩者谓之方，不中吾矩者谓之不方。”判别圆和方的规则都很明确，这些思想方法都来自数学。

2.6 荀子的人文思想与数学

荀子的一个核心人文思想就是“礼”。《荀子·王霸》说：“礼之所以正国也，譬之，犹衡之于轻重也，犹绳墨之于曲直也，犹规矩之于方圆也，既错之而人莫之能诬也。”这充分反映了荀子对数学的推崇。

《荀子·礼论》：“故绳墨诚陈矣，则不可欺以曲直；衡诚县矣，则不可欺以轻重；规矩诚设矣， 则不可欺以方圆；君子审于礼，则不可欺以诈伪。”

我们知道，有了绳墨就不可欺以曲直，有了衡(秤)就不可欺以轻重，有了规矩就不可欺以方圆，这些都是数学道理。荀子以此来说明“礼”的重要性。

同样地，《荀子·礼论》接着说：“君子审于礼，则不可欺以诈伪。故绳者，直之至；衡者， 平之至；规矩者，方圆之至；礼者，人道之极也。”荀子从绳、衡、规矩这些数学知识，引申到他的核心人文思想“礼”。只有对数学的“之至”理解透彻了，才能透彻理解其人文的“之极”。

2.7 管子的人文思想与数学

管仲治理国家时应用了数学，他的人文思想也是用数学语言来表征的。《管子·法法》说：“规矩者，方圆之正也，虽有巧目利手，不如拙规矩之正方圆也……，故虽有明智高行，倍法而治，是废规矩而正方圆也。”这里，管仲用数学语言来阐释背法而治的后果。

《管子·形势解》：“奚仲之为车器也，方圜曲直皆中规矩钩绳，故机旋相得，用之牢利，成器坚固。明主，犹奚仲也，言辞动作，皆中术数，故众理相当，上下相亲。巧者，奚仲之所以为器也，主之所以为治也。”

“以规矩为方圜则成，以尺寸量长短则得，以法数治民则安。”

《管子·七臣七主》：“法律政令者，吏民规矩绳墨也。夫矩不正，不可以求方；绳不信，不可以求直。”

2.8 韩非子的人文思想与数学

韩非子也是法家的代表人物，他十分推崇“法术”，他也借用规矩、尺寸等数学语言来阐述“法”，他的数学思想和人文思想是交融在一起的。韩子引绳墨，切事情，明是非。------《史记·老子韩非列传》。

《韩非子·用人》：“释法术而任心治，尧不能正一国；去规矩而妄意度，奚仲不能成一轮；废尺寸而差短长，王尔不能半中。使中主守法术，拙匠守规矩尺寸，则万不失矣。”

《韩非子·饰邪》：“夫悬衡而知平，设规而知圆，万全之道也。……释规而任巧，释法而任智，惑乱之道也。”

2.9 法律与数学

唐代吴兢的《贞观政要·公平》提到：“法，国之权衡也，时之准绳也”；《淮南子·主术训》说：“法者，天下之度量，而人主之准绳也”。目前我国的法徽、人民法院院徽含有权衡；时至今日，我们仍说“以法律为准绳”，可见古代数学的影响。度量、权衡、准绳都是数学，被用于法律。反映了中国文化对数学严谨、规范、精确的推崇。

2.10 先贤们的数学观

先贤们为什么重视数学？先贤们显然希望自己的学说无论在哪里用、在什么时候用、谁来用，都有一致性，不会因地、因时、因人而异，能反映客观性、普适性。而数学的一个重要特点就是客观性与普适性，数学命题具长期生命力，其正确性不会因时因地因人而改变。这也是为什么先贤们建立的学说直到今天仍有强大的生命力。这反映出中国文化对数学思想、方法、能力的看重。

2.11 筹算与语言

筹算对中国语言有很重要的影响。我认为，像运筹帷幄、技高一筹、略胜一筹、一筹莫展等成语，都源自于筹算。运字特征：运的对象从一处到了另一处，发生了位移。筹算的过程是把算筹从袋中取出，移到桌上进行运算，这正是运筹。“运筹帷幄”，字面意思是说在军帐里进行筹算，进而引申为在战斗中进行谋划、策划。在我看来，“技高一筹”、“高出一筹”和“略胜一筹”的本意，并不是比较两人的筹码多少，而是比较两人的筹算能力，你会把筹摆弄在正确的位置上， 也就是你的筹算能力更强，你就“技高一筹”、“高出一筹”或“略胜一筹”。“展”字特征：展的对象展前没看见，展后看见了。算筹本是放在袋中的，没看见，做筹算时需把算筹取出，摆在桌上演算，就能看见了，所以做筹算就是一个展筹的过程。“一筹莫展”是说，做筹算时连算袋里一根筹都拿不出来摆在正确的位置，说明完全不会做，比喻一点办法都想不出，一点计策也施展不了。

此外还有很多与算筹有关的词语，例如统筹、筹款、筹办、筹备、筹措、筹划、筹集、筹建、筹借、筹码、筹谋、筹拍、筹商、筹资、筹组等等。简简单单、随随便便的办理不能称为筹办，筹办得要是有谋划、有思考、动了脑筋的办理。

数学对中国语言的影响还有很多例子。比如建筑工匠、尤其是泥木工需要使用数学工具，离开了“准绳”便无法工作， 所以“准绳”后来被引申为必须遵守的法规。

如今的许多词语都与数学中的准绳有关，例如：准则、准确、准时、准保、标准、水准、准点、准信、准数、对准、瞄准、保准、放之四海而皆准，绳正、绳之以法、绳墨之言、绳愆纠谬。

再比如常规、规则、规范、规定、萧规曹随、循规蹈矩，上策、献策、策划、策反、策应、策动、束手无策、出谋划策，权衡、权度、衡量、衡定(评定)等词语，也都源自于数学中的规、矩、策、权、衡等。

2.12《周易》中的数学

《周易》记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”从结绳计数到符号计数，《周易》可谓是二进制的滥觞，书中显现了对称和对偶的思想。比如阴和阳。上述提到的“探赜索隐，钩深致远”也是出自《周易》。《周易》对中国哲学的发展起到了重要的作用，是一部具有科学思想的深刻巨著。

2.13 老子的人文思想与数学

原文载于《数学学报，中文版》2022年第四期，由编辑部授权转载。

来源：数学大院